Fast dot product over finite field

Finite fields have great applications in various areas as cryptography, that is why it is important to have fast ways of computation to manipulate them. A first approach developed in this report lies in representing integers of the field using floating-point numbers, which lead to efficient computations. Operations in our case are done by restricting the characteristic p of the field to a floating-point mantissa: p−1 < 2M−1. Taking advantage of error-free transformations on modern architectures, one can manage quite large finite fields exactly with floating-point arithmetic. After returning back to the basic of floating-point numbers, we introduce slightly different approaches to compute the dot product in an efficient way. In a second part, we have the same calculations done in a Residue Number System (RNS) over both integer and floating-point numbers. We show how this system can be efficient for well-chosen basis and present experimental results. Finally, we discuss how we parallelized our algorithms on a GPU card. Résumé Les corps finis ont des applications particulièrement intéressantes dans beaucoup de domaines comme la cryptographie, et il est important d’avoir des modes de calculs rapides pour les manipuler. La première approche choisie consiste à représenter les grands entiers du corps dans des nombres flottants sur lesquels les calculs sont efficaces. Les calculs sont conduits en limitant la caractéristique p du corps à une mantisse flottante: p− 1 < 2M−1. En utilisant des algorithmes de transformations exactes sur des architectures récentes, on voit qu’il est possible de gérer des corps finis relativement grands de manière exacte. Après un rappel sur l’arithmétique flottante, nous présenterons dans ce rapport deux méthodes légèrement différentes pour le calcul du produit scalaire de deux vecteurs chacune visant à réduire le temps de calcul. Dans un deuxième temps, nous montrerons comment les même calculs peuvent être fait en arithétique flottante et entière en utilsant un système modulaire de représentation des nombres (RNS). Nous montrons que ce système peut s’avérer très efficace pour peu que la base soit choisie correctement. Finalement, nous exposons comment nous avons parallélisé nos algorithmes sur GPU. Sammanfattning Ändliga kroppar har intressanta tillämpningar i flera omr̊aden, s̊asom kryptografi, och det är viktigt att snabbt kunna utföra beräkningar för att manipulera dem. Tillvägag̊angssättet som utvecklas i denna rapport g̊ar ut p̊a att representera element i kroppen genom att använda flyttal, vilket leder till effektiva beräkningar. Beräkningarna är utförda genom att begränsa karaktäristiken p av kroppen till en flyttalsmantissa: p− 1 < 2M−1. Genom att använda exakta transformationer p̊a modern arkitektur, kan man hantera stora ändliga kroppar exakt med flyttalsaritmetik. Efter en genomg̊ang av flyttal, kommer vi att introducera ett n̊agot annorlunda tillvägag̊angssätt för att beräkna skalärprodukten p̊a ett effektivt sätt. I en andra del, har vi samma beräkningar som gjorts i en Residue Number System (RNS) över b̊ade heltal och flyttal. Vi visar hur detta system kan vara effektivt för väl vald bas och presenterar experimentella resultat. Slutligen diskuterar vi hur vi parallelliserade v̊ara algoritmer p̊a en grafikprocessor (GPU). Acknowledgments Thanks to Stef Graillat for his numerous re-readings and Johan H̊astad and Torbjörn Granlund for their advises.